摆线的那些事儿——数学界的大型装逼事件
圆形是我们学习数学以来最先接触的特殊图形——它没法被分解成有限个三角形。我们如果在一个滚轮的边上一定点放置一支笔，然后让滚轮沿着墙壁滚动，就能够在墙上画出
经过一定的分析，我们最终能够获得一组方程来描述摆线（其中a为圆的半径）：
根据三角函数的性质以及摆线的绘制过程，我们大家都知道0\le\theta\le2\pi内（即滚轮旋转一周）的曲线构成摆线的一个弧。所以我们大家可以根据这个性质来求出摆线一个周期的弧长。
由于我们theta的取值范围内正弦函数不会取负值，因此我们大家可以放心的去掉绝对值符号。
最速降线问题，即找到两个定点间连接的曲线，使得物体能够在重力作用下花最短的时间到达终点。早在1696年，著名数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）就提出了这样的一个问题。当时欧洲各地的数学家都使用了不同的方法来求解这样的一个问题。然而，伯努利本人提出这个挑战的初衷是为了凸显自己方法的高明从而体现他自己很聪明。他本人花了近两个星期找到这样的解决方法。然而他向欧洲发表这样的一个问题后仅仅一天，已经退休牛顿就给出了他的解法。牛顿在后来的书信里曾说道：“我不喜欢让外国人嘲弄我的数学能力”后来，伯努利的学生欧拉（Leonard Euler）不仅给出了最速降线问题的另一种解法，还设计了欧拉—拉格朗日方程（Euler—Lagrange equation）来解决类似的问题。本节中我将着重讲述伯努利和欧拉的解法。
在直接进入最速降线问题的推导前，我们应该提及费马原理（Fermats principle），即在两点间，光总是选择耗时最短的路径。利用这个原理，我们大家可以研究一下光的折射性质：
现在我们想研究一下入射角与折射角的关系。不同于求证光的反射定律，我们应该用上述的费马原理来求解\alpha与\beta的关系。假设光在白域内的传播速度为v_1，而它在蓝域的传播速度为v_2，现在我们要找到比较合适的x，使得光沿着红色路线的传播时间最少（即找到最快传播路径）。
本篇文章将使用微积分里优化函数的方法来求解。根据勾股定理，我们不难得出：
我们知道，当导数为0或未定义时，函数取极值。然而在在T函数的定义域内，函数只在导数为0时达到最小值。因此，我们也可以列出这样的方程来求解x：
因此，入射角与折射角的正弦比刚好等于两种介质下的光速比，这个结论又叫做斯涅尔定律（Snells law）。虽然斯涅尔定律是一个光学定律，但是在力学中它依然适用。
我们设物体最初距离地面的高度为h，而物体的当前速度和高度分别为v=v(t)和y=y(t)。根据（理想状态下）机械能守恒，我们大家可以对物体的速度和当前高度建立如下关系：
根据幂函数的性质，物体的纵坐标其速度一一对应。如果我们把每个纵坐标都当作一个不同的介质而每个不同的介质下的光速都为\sqrt{2g(h-y)}，我们大家可以把最速降线问题理解成光在多个不同介质下的传播问题。根据费马原理，光总是沿着耗时最短的路径传播，所以我们如果用光学的原则求解出耗时最短的传播路径，就能够获得最速降线问题的答案。
如果我们把物体的运动空间用平行于x轴的直线进行分割，就不难发现当“光线”从第j个区间穿越到第j+1个区间进行折射时，折射角满足斯涅尔定律。因此：
由于我们所做的发现均垂直于x轴（即平行于y轴），所以这些法线都相互平行。于是，根据两直线平行，内错角相等的原则，我们得到\alpha_j=\alpha_{j+1}，因此，我们大家可以把上述等式进行这样的拓展：
因此每一个区间内入射角的正弦于区间内的传播速度成正比，而比例常数设为C。因此，我们大家可以再把速度关于y的表达式代入，得到：
为了美观，我们大家可以更换自变量\theta=2\alpha，得到最速降线最后的参数方程：
因此，最速降线的答案就是摆线。以上便是伯努利的解法，现在我们再来看看他的学生——欧拉——的解法。
我们先来看一下什么是泛函（functional）。泛函一般指从一个空间到数域的映射。
对于一个实变函数f，f\mapsto f(x_0)就是一个基本的泛函，它把函数空间映射到了实数域。而另外一种常见泛函则由积分构成：
或许读者看到这个地方会有些摸不着头脑，但是我们这一些内容会为后面的求解提供铺垫。现在我们的角度来看一看泛函极值问题：
在传统的单变量微积分里的优化问题中，我们大多数都会通过寻找导数的零点来寻找函数的极值。在泛函里我们会寻找变分（variation）的零点来求得泛函的极值。如果我们假设y就是最终满足泛函达到极值的函数，而u=y+\eta表示的是y领域内的函数（其中\eta(x_0)=\eta(x_1)=0以便于所有的u满足y的边界条件）。则：
由于在J[y]处取得极值，所以根据“直觉”，我们大家可以得到\delta J=0。我们也不难能看出（变分法基本引理），\delta J=0当且仅当被积函数里\eta的系数在区间内恒为0。因此，我们不严谨地推导出了：
即大名鼎鼎的欧拉—拉格朗日方程（Euler—Lagrange equation），简称E-L方程。知乎有很多其它的推导过程，但是它们大多数都设u=y+\varepsilon\eta然后求泛函对\varepsilon的全微分。虽然这样更加的严谨，但是作者本人最容易理解的推导还是以上u=y+\eta的方法。
虽然E-L方程能解决大多数泛函极值问题，但是对于满足{\partial F\over\partial x}=0的泛函，直接代入E-L方程会比较产生很复杂的微分方程。因此，我们决定再简化一下难度，对E-L方程进行移项：
因此，我们大家可以在优化满足F=F(y,y)的泛函使用我们得到的结论，即贝尔特拉米等式（Beltramis identity）。我们已将所有需要的工具准备完毕，现在能开始进入最速降线问题的求解了。
由于我们要找到一个曲线，使得物体沿曲线路径滑落的时间最短，我们应该设计一个描述时间的泛函：
因此，我们的最速降线问题变成变分问题，即找到一个满足边界条件的y，使得泛函T取得极值。
由于泛函T的核F满足{\partial F\over\partial x}=0，所以我们大家可以使用更加方便的贝尔特拉米等式来求解。首先，我们求F关于y的偏导数：
我们不难发现这个方程和我们用斯涅尔定律得出的方程完全一样，所以其实伯努利和欧拉的方法都能够说明最速降线问题的答案是摆线。然而，摆线的故事才起步。摆线不仅是最速降线问题的答案，还是等时降落问题（Tautochrone problem）的解。
等时降落问题 ，即找到一个合适的曲线，使得物体从曲线的任何位置受重力作用（理想状态下无摩擦）滑落到终点的时间不变。
当然，在我们有头绪之前。我们先来研究研究弹簧振子的简单调谐运动（Simple harmonic motion）。其中弹簧振子的位置x满足如下微分方程：
根据余弦函数的性质，我们显而易见x的第一个零点在t={\pi\over2\omega}，而且这个零点与x_0的值无关。这在某种程度上预示着（理想状态下）无论x_0多大，{\pi\over2\omega}秒后x总能回到0。意思就是说无论你把弹簧拉到多长，弹簧总能够在指定时间后回到原点。
我们引入广义坐标s来描述示意图终点与物体当前位置间曲线表示物体与，则根据等时降落曲线无关。这在某种程度上预示着s可能会满足简谐运动方程，即：
因此，我们利用简谐运动方程发现（翻转后的）摆线是等时降落问题的答案。这就是等时降落问题的一个传统解法，但是阿贝尔用却能量守恒给出了一个更加硬核的解答。
根据问题的定义，我们大家都知道等时降落问题的曲线满足物体降落时间与出发位置无关，即曲线满足
在上一篇文章里，我使用分数阶微积分的方法求解了这个方程，但这次我打算使用拉普拉斯变换来求解：
我们显而易见，两种方法都可以说明等时降落问题的答案，如同最速降线问题，都是摆线。
